Updated at 2021.5.25 Updated at 2021.4.14 Updated at 2019.05.05 Updated at 2015.01.18

Taylor Series

이해하기 어려운 일반 함수를 쉽게 이해할 수 있고 다루기 쉬운 다항함수들 (\(1, x, x^2, x^3, \cdots\))의 무한급수 (\(\sum_{n=1}^{\infty }\)) 형태로 나타낼 수 있는 방법이 있다. 이해를 위해서는 극한, 급수, 미적분의 개념을 선행으로 알아야 한다.

테일러 급수 정의

먼저 테일러 급수가 뭔지를 먼저 보고, 나중에 유도를 해보고, 어떻게 적용되는지를 보자. 무한히 미분이 가능한 임의의 함수, \(f(x)\) 에 대해서 \(x = a\) 에서의 근사식을 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\begin{align}f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^n (a)}{n!} (x-a)^n\end{align}

여기서 \(f^n (x)\) 는 \(f(x)\) 의 \(n\) 차 도함수(미분 함수)이다. 이해를 위해서 급수를 풀어서 써보면 다음과 같다.

\begin{align}\begin{split}f(x) &= f(a) + f^{(1)} (a)(x-a) \\ &+ \frac{f^{(2)} (a)}{2!} (x-a)^2 + \cdots\end{split}\end{align}

지수 함수에 적용해 보기

지수함수, \(e^x\) 는 미분하면 자기 자신이다. 즉 \((e^x)^{(n)} = e^x\) 이다. 따라서 \(x = 0\) 에서의 테일러 급수를 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{align}e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\end{align}

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삼각 함수에 적용해 보기

\(\sin(x)\) 함수는 미분하면 \(\cos(x)\) 이고 \(\cos(x)\) 함수는 미분하면 \(-\sin(x)\) 이다. 즉 두 번 미분하면 마이너스가 붙은 자기 자신이고, 네 번 미분하면 자기 자신이다. 따라서 \(x = 0\) 에서의 테일러 급수를 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{align}\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\end{align}

\begin{align}\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\end{align}

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테일러 급수 증명하기

적분법을 이용하면 좀 더 이해가 쉽고 잉여항(Remainder Term)을 구하여 급수의 오차를 구할 수 있다. 미적분의 기본 관계에 의해 아래 수식을 알 수 있다.

\begin{align}\int_{a}^{x} {f^{(1)} (t) dt} = f(x) - f(a)\end{align}

여기서 \(f^{(1)} (t)\) 는 \(f(t)\) 의 1차 도함수(미분 함수)이다. \(f(x)\) 를 구하기 위해 이항한 후에 부분 적분을 적용해 보자.

\begin{align}f(x) = f(a) + \int_{a}^{x} {f^{(1)} (t) dt}\end{align}

\begin{align}f(x) = f(a) + \left | tf^{(1)}(t) \right |_{a}^{x} - \int_{a}^{x} {tf^{(2)} (t) dt}\end{align}

\begin{align}\begin{split}f(x) &= f(a) + xf^{(1)}(x) \\ &- af^{(1)}(a) - \int_{a}^{x} {tf^{(2)} (t) dt}\end{split}\end{align}

\(f(x)\) 에 대한 2차 도함수에 대해서 하기와 같은 수식(참고로 적분식에서 x는 상수이므로 미적분 기본 관계식와 동일)을 만족하므로,

\begin{align}\int_{a}^{x} {xf^{(2)} (t) dt} = x\left[f^{(1)}(x) - f^{(1)}(a)\right]\end{align}

\(xf^{(1)}(x)\) 를 구하여 정리하며 하기와 같은 수식을 얻을 수 있다.

\begin{align}\begin{split}f(x) = f(a) + (x - a)f^{(1)}(a) \\ + \int_{a}^{x} {(x-t)f^{(2)} (t) dt}\end{split}\end{align}

2차 도함수의 적분에 대해서도 이 과정을계속 반복하면,

\begin{align}\red{f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^k (a)}{k!} (x-a)^k + R_n(x)}\end{align}

\begin{align}R_n(x) = \int_{a}^{x} \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)} (t) dt\end{align}

상기 항은 테일러 급수의 오차를 나타낸다. 실제 문제에서는 무한대까지 급수를 전개하기 힘들기 때문에, 이 값이 어떻게 될지를 미리 살펴보는 것이 좋다.

테일러 급수 오차

적분의 평균값 정리를 활용하면, 하기 수식을 만족하는 c가 \([a, x]\) 사이에 존재한다.

\begin{align}R_n(x) = f^{(n+1)} (c) \int_{a}^{x} \frac{(x-t)^n}{n!} dt\end{align}

적분 상수를 \(u = x - t\) 로 치환한 후 적분하여 정리하면

\begin{align}R_n(x) = f^{(n+1)} (c) \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\end{align}

따라서 테일러 급수의 최대 오차는 \(f(x)\) 의 \((n + 1)\) 차 미분의 최대값을 M (구간 \([a, x]\) 에서)이라고 하면,

\begin{align}\left | R_n(x) \right | \leq M \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\end{align}

상기 수식을 음미해보면, \((n+1)\) 차 미분이 0이라면 테일러 급수는 오차없이 정확하게 맞으며, \(x = a\) 에 가까워 \(|x - a| < 1\) 이면 n이 증가할수록 오차가 줄어든다. 즉, \(x \sim a\) 근처에서는 임의의 함수를 테일러 급수로 전개해서 근사할 수 있다.

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